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[1] 해리 마코위츠(Harry Markowitz)의 현대 포트폴리오 이론(Modern Portfolio Theory)
2024. 4. 15. 10:00
Asset Pricing 과 Quantative Trading (이른바 퀀트 투자), 두 분야의 학문적 출발점 은 바로 '현대 포트폴리오 이론'(Modern Portfolio Theory, MPT) 와 'CAPM'(Capital Asset Pricing Model, 자본자산가격결정모형) 이 되겠다. 깊게 들어가면 어렵기는 한데, 그래도 금융 투자 공부 에 있어서 기초를 이루므로 복습을 해보자.
(James W.Kolari, Seppo Pynnonen의 'Investment Valuation and Asset Pricing'을 읽고 공부하였습니다.)[Investment Valuation and Asset Pricing
저자
미등록
출판
Palgrave MacMillan
발매
2022.12.07.
](https://search.shopping.naver.com/book/product/L7nijgSAJOoEwVk9RJEd0yR4wdBApSLnB9x8aUdapnQ%3D)
00: 현대 포트폴리오 이론(Modern Portfolio Theory, MPT)과 의의
해리 마코위츠 (Harry Markowitz), 출처: 인베스토피아
현대 포트폴리오 이론(Modern Portfolio Theory, MPT) 는 해리 마코위츠(Harry Markowitz) 로부터 그 역사가 시작되었다. 에... 이게 무슨 내용이나면...
효율적인 포트폴리오 구성(Efficient Portfolio Selection)은 자산 다양화(Asset Diversification)으로 이뤄질 수 있으며, 이는 자산 다양화를 통해 자산 간 상관관계(Correlation)를 줄여 리스크를 감소시킬 수 있기 때문이다.
그렇다. 해리 마코위츠 와 뒤이은 경제학자들은
① 실제 자산시장에서는 "자산 다양화" 만이 투자자가 얻을 수 있는 "공짜 점심(free lunch)" 라고 주장했으며,
② 단순한 기대수익률 극대화가 아닌 "리스크 당 기대수익률 극대화" (ex. 샤프 비율)를 추구해야 한다 고 주장했다.
③ 여기서 기대수익률을 Mean(평균) 이라 적용하고 리스크를 Variance(분산) 이 라고 보면, 최종적으로 'Mean-Variance Analysis' 라고도 부를 수 있게 된다. (Volatility 즉, 변동성이 곧 리스크이므로 분산으로 대체 가능)
→ 그리고 이것이 바로 Asset Pricing 학문의 출발점이 되겠다.
01: 할인율과 리스크 프리미엄
합리적인 투자자라면 아래의 두 단계를 거쳐서 포트폴리오를 구성할 것이다. (Portfolio Selection)
① 각 자산의 미래 잠재 수익률을 평가한다.
② 각 자산별로 할인율(혹은 미래 수익률)을 기반으로 '현재가치(Present Value)'를 계산한 후, 할인된 가치를 (미래가치 - 현재가치) 최대화 하는 방향으로 포트폴리오를 구성한다.
예를 들어 매년 초 1회 특정 자산에 투자할 예정이며, 총 n년동안 투자한다고 가정 하면 '현재가치 V' 는 아래와 같다.
$현재가치\ V\ =\sum _{k=1}^n\ \frac{E\left(\combi{CF}_k\right)}{\combi{\left(1+E\left(R\right)\right)}^{\left(n-k+1\right)}}$ 현 재 가 치 V \= n ∑ k \= 1 E (C F k ) (1 + E (R)) (n − k + 1)
E(CF k) 는 'k년의 기대 현금 흐름' 이며, E(R) 은 '기대 수익률(또는 할인율)' 이 되겠다. 즉 '매년의 투자금액을 기대 수익률로 할인한 것들의 합' 이 현재가치 V 가 되는 것이다.
그리고 지금 사용했던 E(R) 은 '기대 수익률' 또는 '기대 위험 할인율' 이다. 이를 '무위험이자율(Riskless rate)' 과 '리스크 프리미엄(Risk Premium)' 으로 분해하면 아래와 같다.
※ 무위험이자율: 어떠한 리스크 없이 얻을 수 있는 수익 혹은 이자
※ 리스크 프리미엄: 임의의 투자자가 위험성이 있는 특정 투자에 대해 기대하는 혹은 얻을 수 있는 수익
$E\left(R\right)\ =\ \combi{R}_f+RP$ E (R) \= R f + R P
R f 는 '무위험이자율(Riskless Rate)' 이며 RP 는 '리스크 프리미엄(Risk Premium)' 이다. 대체 로 '무위험이자율' 은 미국채 10년물 금리 를 사용하는 편 이며, 미국채 10년물 금리 의 높낮이에 따라 '리스크 프리미엄' 이 변하기 때문에 자산의 투자 매력도가 바뀌게 된다.이는 결국 자산의 가격 변동에 있어 또 다른 요소로 작동하게 된다.
이 개념은 뒤의 CAPM 이나 파마 프렌치 5요인 등 여러가지 개념에서 다시 쓰이기 때문에 꼭 알아두도록 하자.
02: 개별 자산의 기대수익률과 리스크
특정 자산의 투자 여부를 결정하려면, 그 자산에 대한 '기대수익률' 과 '리스크' 를 점검해야 한다. 예를 들어 자산 A가 있다고 가정하고, (1) 보수적, (2) 중립적, (3) 긍정적 이 3가지 예상에 따라 기대수익률과 확률을 기재한 결과가 아래의 표와 같다고 생각해보자.
사진 출처: Investment Valuation and Asset Pricing
이 자산에 대해서 '기대수익률(Expected Return)' 은 확률과 수익률의 곱의 합 으로, '리스크' 는 '분산(Variance)' 으로 보면 아래의 산식으로 자산의 기대수익률을 계산할 수 있다.
$기대수익률\ \ E\left(\combi{R}_j\right)=\sum _{s=1}^S\combi{p}_s\combi{R}_{sj}$ 기 대 수 익 률 E (R j ) \= S ∑ s \= 1 p s R s j
$분산\ \ \combi{\sigma }^2\left(\combi{R}_j\right)=\sum _{s=1}^S\combi{p}_s\combi{\left[\combi{R}_{sj}-E\left(\combi{R}_j\right)\right]}^2$ 분 산 σ 2 (R j ) \= S ∑ s \= 1 p s [R s j − E (R j )] 2
$표준편차\ \ \sigma \left(\combi{R}_j\right)=\sqrt{\combi{\sigma }^2\left(\combi{R}_j\right)}$ 표 준 편 차 σ (R j ) \= √ σ 2 (R j )
위 표의 값에 근거해서 기대수익률을 계산하면 약 10%가 나오며, 표준편차 약 3.54%로 계산이 된다.
그리고 기대수익률의 확률분포가 '정규분포'라고 가정하면, 95%의 신뢰 수준에서 자산 A의 기대수익률의 범위는 {기대수익률 ± 2×표준편차}로서 2.92% ~ 17.08%로 계산할 수 있다. (꽤 범위가 넓은 변동성이 큰 자산이다.)
03: 여러 자산을 담은 포트폴리오에서의 기대수익률과 리스크
그렇다면 포트폴리오를 구성해서 여러가지 종목을 담을 때는 '기대수익률' 과 '리스크' 를 어떻게 평가할 수 있을까?
- 포트폴리오에 자산 2가지를 담는다고 가정하고 생각해보자.
포트폴리오의 '기대수익률 '은 특정 자산의 기대수익률과 그 자산에 대한 가중치의 곱의 합 이 될 것이다.
'리스크' 의 경우에는 달라지는 부분이 있다. 분산을 계산할 때, 자산과 다른 자산 간의 상관관계를 반영해야 한다.
즉, 공분산 을 생각해야 한다. (공분산: 특정 확률변수의 증감에 따른 다른 확률변수의 증감의 경향에 대한 측도)
$\combi{σ}^2\left(\combi{R}_p\right)=\combi{\combi{w}_1}^2\combi{σ}^2\left(\combi{R}_1\right)+2\combi{w}_1\combi{w}_2Cov\left(\combi{R}_1,\ \combi{R}_2\right)+\combi{\combi{w}_2}^2\combi{σ}^2\left(\combi{R}_2\right)$ σ 2 (R p ) \= w 1 2 σ 2 (R 1 ) + 2 w 1 w 2 C o v (R 1 ,R 2 ) + w 2 2 σ 2 (R 2 )
$\combi{\combi{σ}_p}^2=\combi{\combi{w}_1}^2\combi{σ}^2+2\combi{w}_1\combi{w}_2\combi{σ}_{12}+\combi{\combi{w}_2}^2\combi{σ}^2\ \ \ \ \left(\combi{σ}_{12}과\ \combi{σ}_{21}은\ 동일하므로\right)$ σ p 2 \= w 1 2 σ 2 + 2 w 1 w 2 σ 1 2 + w 2 2 σ 2 (σ 1 2 과 σ 2 1 은 동 일 하 므 로)
① 공분산은 음이 될 수도 있고, 양이 될 수도 있다. 하지만 인버스 종목이 아닌 이상에야 웬만한 자산의 경우 공분산은 0과 1 사이에 존재할 것이고 상관관계가 적을수록 공분산은 0에 가까울 것이다.
→ 즉, 상관관계가 적은 종목 을 포트폴리오에 반영할수록 분산(리스크) 의 크기가 줄어든다.
② 포트폴리오의 편입종목 수가 많을수록 특정 자산의 가중치가 확연히 낮아지며, 자산 간 상관관계는 소수 종목을 담을 때에 비해 줄어들기 때문에, 최종적으로 분산은 감소한다.
그래서 유명한 투자의 격언 "달걀을 한 바구니에 담지 마라." 가 증명이 된다.
- 자, 그렇다면 자산 n개를 담는다면?
아까 자산 2개일 때의 계산식을 n개일 때로 확장하면 된다. (n이 커질수록 매우 계산이 복잡해진다.)
$포트폴리오\ 수익률\ 평균\ \ \combi{μ}_p=\sum _{j=1}^N\combi{w}_jE\left(\combi{R}_j\right)$ 포 트 폴 리 오 수 익 률 평 균 μ p \= N ∑ j \= 1 w j E (R j )
$포트폴리오\ 수익률\ 분산\ \ \combi{\combi{σ}_p}^2=\sum _{j=1}^N\combi{\combi{w}_j}^2\combi{\combi{σ}_j}^2+\sum _{j=1}^N\sum _{k\ne 1}^N\combi{w}_j\combi{w}_k\combi{σ}_{jk}σ_jσ_k$ 포 트 폴 리 오 수 익 률 분 산 σ p 2 \= N ∑ j \= 1 w j 2 σ j 2 + N ∑ j \= 1 N ∑ k ≠ 1 w j w k σ j k σ j σ k
04: Mean-Variance Parabola와 효율적 투자선(Efficient Frontier)
포트폴리오에 2개의 주식을 담는다면, 각 주식의 비중에 따라 수익률과 수익률의 표준편차가 (3번에서 설명한 계산식에 따라) 달라진다.
그렇다면 각 주식의 비중에 따라 수익률과 수익률의 표준편차는 어떻게 값이 달라질까?해리 마코위츠 는 x축에 수익률의 표준편차, y축에 수익률을 둔 그래프, 즉 'Mean-Variance Parabola' 로서 보여주었다.
효율적 투자선 (Efficient Frontier)
'실선 그래프' 는 상관계수가 -1과 1 사이일 때의 그래프이며, 'y축을 찍고 가는 그래프' 는 상관계수가 -1일 때의 그래프, '두 점을 직선으로 잇는 그래프' 는 상관계수가 1일 때의 그래프다. 그리고 '점 G' 는 평균 수익률 Rg일 때를 말한다.
① 이 그래프에서 '점 G'를 기준으로 해서 윗부분을 보고 '효율적 투자선'(Efficient Frontier) 라고 부르며, 아랫부분을 비효율적 최소분산 포트폴리오 라고 부른다. (윗부분에서는 분산이 증가함에 따라 수익률이 증가하니 당연하다.)
② 투자자 각자의 위험 부담 정도에 따라 '효율적 투자선' 에서 비중을 참조하여 최적의 투자를 할 수 있는데, 만약 '위험 비선호자'라면 최소 분산 지점인 '점 G'의 비중에 따라 투자할 것이며, '위험 최선호자'라면 아예 주식1을 100% 담아서 투자를 할 것이다.
③ 투자하는 자산의 종류가 늘어날수록 분산의 크기가 줄어드니, '효율적 투자선' 그래프 또한 왼쪽으로 움직인다.
현대 포트폴리오 이론(MPT) 에서의 효율적 투자선(Efficient Frontier) 는 이 정도로 설명되고 있으며, CAPM 에서도 효율적 투자선 이 등장하니 해당 글 또한 참조해야 할 필요가 있겠다.
05: 해리 마코위츠 '현대 포트폴리오 이론(MPT)'의 한계점
하지만 해리 마코위츠 의 현대 포트폴리오 이론(MPT) 를 실전에서 이용하기에는 여러 문제점이 있다.
① 일부 자산의 경우, 가중치가 너무 낮아서 포트폴리오 편입이 어려울 수 있다.
② 시간에 따라 수익률과 상관관계가 달라지기 때문에 실시간으로 가중치가 달라진다.
③ 그래서 거래비용이 많이 소요 될 수 있다.
④ 실제로 Michaud(1989)가 검증해봤더니, MPT 대비 단순 동일 가중치 포트폴리오의 수익률이 더 좋았다.
이러한 이유로 현대 포트폴리오 이론 을 실전에 이용할 순 없었고, 그래서 이을 보완할 여러 이론이 발표되었다.
다음에는 그중 하나인 CAPM 을 다뤄보자.